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转载:談公平(楊照崑)

分类 : 博文聚焦 | 发布时间 : 2006-04-05 01:44:00 | 浏览 : 5536

.原載於數學傳播第十六卷第三期
.作者當時任教於美國佛羅里達大學統計系
.转载自:http://episte.math.ntu.edu.tw/articles/mm/mm_16_3_08/index.html
.感谢云风引导:http://blog.codingnow.com/2006/04/shapley.html

前言

「員工拼死幹活,老闆毫無表示,員工創造利潤,有權要求分享$/cdots/cdots$」這是黃凡近著,〈財閥〉長篇小說中工人向資本家要求公平待遇的口號。生動的刻劃出了一些社會上的不平之鳴。「不平」,不但受害人覺得委曲,就是旁觀者也憤怒難忍,仁者悲天憫人,奔走呼號,勇者路見不平,拔刀相助,而對一個求智者而言,我們能不能客觀的決定怎樣才是公平?是資本家剝削得太厲害,還是勞工要求過份?您也許不會相信一個簡單的數學公式就可以基本上瞭解這個問題,而且讓我們看到一幅嶄新的圖畫,體會到人間的真理。

 

有人說過問題是數學的靈魂。那麼我們就從問題開始吧。假定有一個資本家(廠主)、一個工程師及二個工人。資本家有工廠,但若沒有工程師及工人則不能賺錢。若資本家與工程師合作,沒有工人,則二人大才小用,做些工人的工作,每月可賺三萬元,若加一個工人,因工人有體力技術,效率大增,三人合作每月可賺6萬元,若再加一工人,則一月可賺9萬元。但若只有廠主與工人沒有工程師,則工廠亦不能開工。現在問這9萬元的利潤要如何分配方為公平合理?(請注意這九萬元完全是利潤,工廠保養、資金利息、股東紅利均已扣除。)

 

廠主可能對工人說:我們二一添作五,一個月給你一萬五吧。

 

工人可能會回答,這豈不是太黑。我們每人每月為工廠「淨」賺三萬。給我們一人二萬有何不可?這樣你們仍可以白白分到我們勞工所創的二萬利潤。何必貪得無厭。

 

廠主會說:笑話,我不給你工作,別說一萬五,你一毛都賺不到,給你一萬五還人心不足!於是紛爭遂起,工說工有理,主說主有理。那麼聰明的你會站在那一邊呢?我們能用理智來解決這個分配問題嗎?在往下看之前,我希望您暫時合起本文,閉眼想一想這個問題應如何著手解決。先自己想清楚再看答案是增加數學趣味及功力的重要法則。

 

想好了?那麼我先告訴您答案,一個相當公平的分配應是廠主與工程師各得三萬五,二個工人各得一萬元。不公平?不,再找不到比這公平的法則了。

 

在談到數學之前,我們可以看看這個問題的博大精深。幾乎所有的經濟問題都與這個問題有關。醫院賺大錢,醫生、護士、技師、警衛均不可少,他們要如何分配這筆大錢?學校中校長、教員、職員、工友在待遇上應有何差別?學生論文發表,教授的功勞應算多少?更進一步,我們身為社會一份子,應付多少稅,取多少薪水,也可做如是觀。一切權利的基礎也應從公平上著手,我不虧待人,但我也不允許別人虧待我。

謝卜勒 (Shapley) 公平三原則

首先我們必須明白有合作才有分配公不公平的問題。否則你走你的陽關道打獵,我過我的獨木橋捕魚,在山吃山,靠水吃水,各顧自己,就談不到分配不均的問題。今令 ω 為一個可由多人合作的工作,而 S 表示可以參與工作的人們的集合。若 US 的一個子集,則 $/omega(U)$ 表示 U 人合作時可得的工作利潤。以前面工廠為例,則

 

/begin{displaymath} S = /{ /mbox{{/fontfamily{cwM1}/fontseries{m}/selectfont /ch... ...0.1pt{/fontfamily{cwM3}/fontseries{m}/selectfont /char 14}} /} /end{displaymath}


 

U={廠主, 工程師} 時,$/omega(U)=3$(萬元),若 U={廠主, 工程師, 工人甲},則 $/omega(U)=6$,若 U={廠主, 工人甲},則 $/omega(U)=0$,為了簡便起見,令 S 中的元素以 1,2,…,n 為代號,即 $S = /{1,/cdots,n/}$。令 $/phi(/omega)$ 表示 i 成員在 ω 工作上該得的報酬。謝卜勒在1953年的論文中,訂下了三個公平的原則。

 

 

原則1:報酬與名字無關,只與各人的貢獻有關。即若 ij 互換而不影響 ω 時, $/phi_{i}(/omega)=/phi_{j}(/omega)$

 

沒有人會反對這個原則,即同工應同酬,張三若可做李四的事,則張三可拿李四的報酬,與他叫張三或李四無關。

 

原則2:利潤屬於工作者, $/sum_{i/in U} /phi_{i}(/omega)=/omega(U)$ 對所有 $U/subset S$均成立。

 

這也是一個公平的原則,U 人合得的利益,自然分給 U 裡的人。

 

 

原則3:若有二件工作 $/omega_1$$/omega_2$,則 $/phi_i (/omega_1,/omega_2)$ = $/phi_i (/omega_1) + /phi_i (/omega_2)$ 對所有 i 均成立。

 

這也是無人反對的公理,我做二份工作,自可得二分酬勞。

 

稀奇的是(在謝氏原論文中,他亦稱奇)。只要這三個原則,即可求出 $/phi_i(/omega)$

 

 

定理(Shapley):根據上項三原則,若對所有 $U/subset S,/omega(U)$ 已給定,則 $/phi_i(/omega)$ 的唯一解為

 

/begin{displaymath} /phi_i (/omega) = /sum_{ U /subseteq S} r_n (s) [/omega(U)-/omega(U-/{i/})] /eqno{(1)} /end{displaymath}

 

 

s = U 所含之元素數目,
$r_n = /frac{(s-1)!(n-s)!}{n!}$
U-{i} 表示 U 中減去成員 {i}

雖然本定理的證明不長(大約二頁,高中代數程度),我們不在此重複,有興趣的讀者一定可以從本文的參考資料中找到。而且下文中會對(1)式做直觀的分析,即使不查證明,多數人也會相信(1)是一個公平的分配方式。為了明瞭此公式的用法,讓我們演算一下廠主的報酬,令

 

S={1,2,3,4}


 

1,2,3,4 依次代表廠主,工程師,工人甲乙。US 的子集合,共有 24=16 個。可細列如下:

 

 

(1) 空集合及含有一個元素的集合均使 $/omega(U)-/omega(U-/{i/})=0-0=0$

 

 

(2)含有二個元素的集合有(1,2),(1,3),(1,4),(2,3),(2,4),(3,4)。其中只有 $/omega(1,2)-/omega(2)=3-0=3$,其餘均為0,而

 

/begin{displaymath} r_2=/frac{(2-1)!(4-2)!}{4!}=/frac{1}{12}/mbox{{/fontfamily{cwM0}/fontseries{m}/selectfont /char 1}} /end{displaymath}

 

(3)含有三個元素的集合有(1,2,3),(1,2,4),(1,3,4),(2,3,4),其中

 

/begin{eqnarray*} && /omega(1,2,3) - /omega(2,3)=6-0=6,// && /omega(1,2,4) - /o... ...a(1,3,4) - /omega(3,4)=0,// && /omega(2,3,4) - /omega(2,3,4)=0, /end{eqnarray*}

 



 

/begin{displaymath} r_3=/frac{(3-1)!(4-3)!}{4!}=/frac{1}{12} /end{displaymath}

 

(4)含有四個元素的集只有(1,2,3,4)得

 

/begin{displaymath} /omega(1,2,3,4)-/omega(2,3,4) =9-0=9,/mbox{ {/fontfamily{cwM0}/fontseries{m}/selectfont /char 47}}r_4=/frac{1}{4} /; . /end{displaymath}

 

因此求得

 

/begin{eqnarray*} /phi_{1}(/omega) &=& /frac{1}{12} /times 3 + /frac{1}{12} /times (6+6) + /frac{1}{4} /times 9 // &=& 3.5 /end{eqnarray*}

 


同理可得

 

/begin{eqnarray*} /phi_2(/omega) &=& 3.5 // /phi_3(/omega) &=& /phi_4(/omega)=1 /; . /end{eqnarray*}

 


現在如果誰要再說這種分配不公平就為時已晚了,因為一旦你承認了謝卜勒三原則,則剩下的推導全是推不倒,像 a+b=b+a 之類的數學公理。而謝卜勒原則似乎又無懈可擊。因此我們不得不承認這個 3.5:3.5:1:1 是一個公平的分配法。

 

從另一個角度來看(1)式,我們發現

 

/begin{displaymath} /omega(U)-/omega(U-/{i/}) /end{displaymath}


 

表示的是 {i} 加入 U 時所增加的(邊際)利潤,也就是 {i} 所帶給 U 的利潤。而 rn(s) 表示在所有 1,2,…,n 排列中,{i}s 位置而能保持前後成員不變的或然率,因 sU 所含的元素數目,也就是 {i} 成為 U 中最後加入成員的或然率。因此(1)所表示的是 {i} 成員為 S 團體帶來邊際利潤的期望值,這自然應是 {i} 所得到的報酬。好像不容易說得清楚,且看一個例子。因前例 4!=24 太大了一點,我們在前例中減少一個工人,看看(1)的分配是什麼回事。同時也可以比較一下少一個工人時對各人收入的影響。現在 S={1,2,3} 依次代表了廠主、工程師,及工人甲。表一的左邊有這三個數的全部排列法。其第二,三,四列代表的是在這種排列下,各人所帶的邊際利潤。以第一行的排列 1 2 3 為例。廠主先到,他不能開工,因此他帶來的利潤是 0,工程師第二個到,他與廠主合作可得 3 萬利潤,因此他帶來的邊際利潤是 3(不全是他的功勞,但算他帶來的),工人最後來,他又帶來了 3 萬利潤 因此這 3 萬就記在工人名下,因此在第一行中各人所帶來的利潤是 0,3,3,但我們沒有理由讓廠主先到,這 3! 的排列應有同等的機會(很公平是不是?)因此一平均下來,各人所帶來的利潤,也就是他們應有的報酬是 2.5,2.5,1。表一的最後三列是代表此表與(1)式的關係,只要仔細對照一下,就可以看出(1)所表示的就是這些排列下所產生的平均值。

 

 

排列 1 2 3 含1的 U s $/gamma_n(s)$
123 0 3 3 {1}    
132 0 6 0 {1} 1 2/6
213 3 0 3 {2,1} 2 1/6
312 0 6 0 {3,1} 2 1/6
231 6 0 0 {1,2,3}    
321 6 0 0 {1,2,3} 3 2/6
15 15 6     1
平均 (和/6) 2.5 2.5 1      

 

表一:對 {i} 而言的邊際利潤

若把表一的結果與先前有二個工人的結果比較,我們會發現多來的工人乙與原先的工人甲同工同酬(很合理,是不是?),都得了一萬元的報酬,但他所造成的另外二萬利潤則又被廠與工程師吞去了 (您覺得工人很倒霉是不是?還有更倒霉的事情在後面,如果真的要公平的話。) 因此無論由三原則推導,或由(1)式直觀,我們發現公平的分配並不像我們想像的那麼難纏。謝卜勒能看到這一點已造成他成為一代宗師的地位,他的公式已成為數理經濟學的柱石。

謝氏定理一些有趣的結果

工作不能增加利潤,則他的報酬當是 0。此人稱為冗員 (dummy),因對一個冗員 i 而言, $/omega(U)-/omega(U-/{i/})$ 恆為 0,故 $/phi_{i}(/omega)=0$

 

在上題中我們看到工程師與廠主的報酬相同,這似乎與事實不合,在大部分的工廠中,工程師拿不到廠主的待遇。這個原因是在一般情形下,工程師不只一個,尤其當工程師供過於求時,他們的身價就會慘跌。現設 S={廠主,工程師甲,工程師乙,工人甲} 其代號仍依次為 1,2,3,4。但只需一個工程師就夠了。在這時候,若廠主請了其中的一位,他仍付他二萬五?且看公式(1)中 $/phi_{2}(/omega)$ 的結果。

 

 

(1) 對空集合及含一元素之集合而言, $/omega(U)-/omega(U-/{2/})=0$

 

(2) 對二元素的集合而言,只有 $/omega(1,2)-/omega(1)=3$不為0。

 

(3) 對三元素的集合而言,只有 $/omega(1,2,4)-/omega(1,4)=6$ 不為 0 ( U(1,2,3)-U(1,3)=3-3=0,因另一個工程師乙捷足先登,工程師甲的工作就泡了湯。)

 

(4) 對四元素之集合 $/omega(1,2,3,4)-/omega(1,3,4)=6-6=0$。因此工程師甲的報酬應為 $/frac{3}{12}+/frac{6}{12} =0.75$。引用原則一,或再導一次可知工程師乙之公平所得亦為0.75,二者之和只有1.5萬,竟然比原來一個人可得的2.5萬少了一萬。這說明了供過於求一個可怕的結果,多一個工程師不但不能增加工程師的收入,而且拖了同仁下水。其原因自然因為廠主有恃無恐,不怕找不到工程師而可以加以殺價的緣故。但這個事實竟能從公平三原則中反映出來,不可不謂數學的奇蹟。現在看看資本家與工人可因此多獲利多少。稍加計算可得 $/phi_1(/omega)=3.25$, $/phi_4(/omega)=1.25$,可見其中大部分的好處為廠主所得,但工人也因工程師多而身價小增。依理往前推,若工程師再多,則其身價必又再跌,原來工程師之所以可以與資本家平分秋色乃是因工程師只有一位,沒有他開不了工,奇貨可居之故。當然若只有一個工程師而有二個工廠,則他的身價會增加而廠主的報酬就要下跌。但在一般社會中都是資本家少,工程師多,而勞工更多,因此工人可以分得之公平工資之慘,可以想見。

公式(1)之推導固然精彩,可惜(幸好)在一般情形下,不容易計算,因為 $U /subseteq S$ 含有 S 中全部的子集,有 2n 個。當 n 稍大時,計算量就會壓死計算機。但在某些情形下,特別是成員的能力大多相同時,表一中的排列法就能減少到可以計算的地步。現舉一個這樣的例子。

 

設某鳥商請一個村子裡的人為他養鳥,各家養一隻。到收購的時候,他宣佈他只能買成對的鳥兒,一對一千元。村人各戶人家集合算了一下,發現有雄鳥110隻,雌鳥90隻,因此可賣九萬元,為了不使養雄鳥之家搶賣打破頭起見,全村一氣,算大家共賣,因此得了九萬元,放生了20隻雄鳥。現在問題是錢要如何分配才「公平」。當養雄鳥之家主張均攤,即每隻鳥值 9萬/200 = 450 元,但養雌鳥人家認為物以稀為貴,雌鳥之所以活得少,必定是比較難養,理應多分一點,紛爭又起,如何擺平?如果我們以謝卜勒原則看公平,則因鳥只有二種,可以求出

 

/begin{displaymath} /phi_{i}(/omega)=/sum_{k=1}^{n-1}r_n(k+1)/sum_{x/geq[/frac{k}{2}+1]}^{k}{n_2 /choose x}{n_1-1 /choose k-x} /eqno{(2)} /end{displaymath}


 

式中 [y] 表 y 之整數值,n1i 所屬之類的鳥數,即若 i 為雄,則n1=110i 為雌,則 n1=90,n2 另一類鳥數,n=n1+n2。用計算機算出結果是雄鳥單價值 109 元,雌鳥單價為 876 元,而全部雄鳥之值只有雌鳥的 6.5 分之一。其實稍不平衡,價差就很驚人,如果雄、雌各為 102 及 98 隻,則其單價比為 1:1.82,物以稀而貴,一致於此。

 

記得若干年前臺灣適婚年齡者男多女少,少女身價百倍。現在好像是女多男少,單身漢行情看漲。不過人間的情形很複雜,我們不能把每位少男少女像鳥兒一樣看為等價。因各人條件不同,每個人的公平地位就不容易由(1)計算出來(2n子集而$n/geq10^6$?),條件好的男女是不介意情敵多少的。但(1)式至少能解釋一個重要的現象,稍不平衡,就產生極大的價差。

 

其實人們雖不知公式(1),但這種現象早已深植於人們的心中,每個人都想改變自我環境,使得公式(1)對我有利。當供過於求的時候,人們曾經把糧食、牛奶、羊毛倒入海中以求增加價格,以鳥兒為例,若雄鳥人家先商量好,偷偷放走20隻 則對養雄鳥人家都有利, (若放走30隻則更有利,這時候雌鳥每隻只值201元而雄鳥值773元,雖全部只剩下80對鳥兒,但對雄鳥人家而言則有利。但這要合作才行,若你自己把鳥放了,則可能一文都拿不到。)各行業防止供過於求,用執照、工會、幫會、碼頭等加以限制人數。而大家也都知道要進到一個行業中成為一個不可少的人。

 

然而也有些人雖不喜歡不平,但卻想破壞公平,有人破壞第一原則,利用各種關係,使得報酬與名字有關,他是我的兒子,報酬就自然加大,有的破壞第二原則,沒有做事的人也巧立名目,拿一些錢。當然,最壞的是鼓勵生產力不足的人用搶,嚴重的破壞了公平的分配。

一點感想

從公平的原則看來,社會上才智高的人似乎反而沒有拿到他份內公平的報酬,這些不可少的創業家,發明家,若照謝卜勒的公式,他們的報酬可能應是不可思議的大。因此當我們未來再為自己訴不平的時候,就該想到公式(1):從公平的觀點來看,是天下人負我,還是我負天下人?

 

Shapley 的原文發表在 Shapley,L.S.(1953)〈A value for n-person games〉,in《Contributions to the Theory of Games》, Vol. II,Ed. by H.W. Kubn and A.W. Tucker, Princeton University Press.
一些最近的發展可看

《The Shapley Value:Essays in Honor of Lloyd S. Shapley》,1988,Ed. by A.E. Roth, Combridge University Press.

Shapley 1953年論文亦收在此書內。

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